О критических решетках единичного шара

История вопроса вычисления и оценки постоянной Эрмита насчитывает два столетия. В данной статье дается краткий обзор истории этой задачи. Также эта проблема рассматривается с точки зрения критических решеток единичного шара.
Данная задача берет свое начало с работ Ж. Л. Лагранжа, Л. А. Зеебера и К. Ф. Гаусса. Разрабатывая теорию приведения положительно определенных квадратичных форм, ими были получены предельные формы, для которых отношение минимального значения этих форм в целых точках, отличных от 0, к их определителю было максимально.
В середине XIX века Ш. Эрмитом была получена оценка этой величины для произвольной размерности. А в конце XIX века А. Н. Коркиным и Е. И. Золотаревым был предложен новый метод приведения квадратичных форм, который позволил получить точные значения постоянной Эрмита вплоть до размерности 8.
В данной работе будет рассматриваться эквивалентная постоянной Эрмита величина – критический определитель единичного шара. Следует отметить тесную связь этих величин с другими задачами геометрии чисел, например, задачами нахождения плотности наилучшей упаковки, поиска кратчайшего вектора решетки и диофантовыми приближениями. Мы приведем критические решетки размерностей до 8, а также рассмотрим их некоторые метрические свойства.