Интегральное уравнение Вольтерра со степенной нелинейностью

С помощью интегрального неравенства, обобщающего, в частности, неравенство Чебышева, в статье получены точные двусторонние априорные оценки решения интегрального уравнения Вольтерра со степенной нелинейностью и ядром общего вида в конусе, состоящем из всех неотрицательных и непрерывных на положительной полуоси функций. На основе этих оценок строится полное метрическое пространство, инвариантное относительно нелинейного интегрального оператора Вольтерра, порожденного данным уравнением, и методом весовых метрик (аналог метода Белицкого) доказывается глобальная теорема о существовании, единственности и способе нахождения решения указанного уравнения. Показано, что это решение может быть найдено методом последовательных приближений пикаровского типа и дана оценка скорости их сходимости в терминах весовой метрики. Показано, что, в отличие от линейного случая, нелинейное однородное интегральное уравнение Вольтерра помимо тривиального решения может иметь еще и нетривиальное решение. Указаны условия, при которых однородное уравнение, соответствующее данному нелинейному интегральному уравнению, имеет только тривиальное решение. Вместе с этим дано уточнение и обобщение некоторых результатов, полученных в случае нелинейных интегральных уравнений с разностными и суммарными ядрами. Приведены примеры, иллюстрирующие полученные результаты.