Исследование Коши по подстановкам

Статья посвящена введению и становлению термина и символа действия «подстановка». В математических исследованиях до Лагранжа никогда не практиковалось переставлять независимые переменные, входящие в заданную функцию. Впервые этот приём встречается у Лагранжа в работе 1771 г., посвящённой алгебраическому решению уравнений.
Вандермонд, опубликовавший свою работу в том же 1771 г., высказывает идею о необходимости ввести обозначения, упрощающие вычисления и восприятие операций над функциями корней. Однако введенные обозначения не были простыми для понимания и усложнялись с повышением степени уравнения.
Работы Руффини, опубликованные с 1799 по 1813 г., имели цель доказать невозможность решения уравнения $5$-й степени и представляют, по сути, исследование симметрической группы , представленной значениями функции корней, в виде всевозможных перестановок этих корней. В ходе исследований, он доказывает, что группа $S_5$ не содержит подгрупп индекса $3$, $4$ или $8$. Однако, так же как и Лагранж, Руффини использует сложные громоздкие выражения.
Коши, занимаясь вопросами комбинаторного анализа, попытался обобщить результат, полученный Руффини на уравнения произвольной степени. Работая над вопросом установления пределов, которые может принимать функция $n$ переменных, Коши, изобрёл новый инструмент исследования, ставший впоследствии самостоятельной теорией. Это теория группы подстановок.