Гипотеза Боаса на оси для преобразования Фурье — Данкля и его обобщения

Вопрос интегрируемости преобразования Фурье и других интегральных преобразований $\mathcal{F}(f)$ на классах функций в весовых пространствах $L^{p}(\mathbb{R}^{d})$ является фундаментальной проблемой гармонического анализа. Классический результат Хаусдорфа–Юнга говорит, что если функция $f$ из $L^{p}(\mathbb{R}^{d})$ при $p\in [1,2]$, то ее преобразование Фурье $\mathcal{F}(f)\in L^{p'}(\mathbb{R}^{d})$. При $p>2$ преобразование Фурье в общей ситуации будет обобщенной функцией. Определить преобразование Фурье как обычную функцию при $p>2$ можно за счет рассмотрения весовых пространств $L^{p}(\mathbb{R}^{d})$. В частности, из классического неравенства Питта следует, что если $p,q\in (1,\infty)$, $\delta=d(\frac{1}{q}-\frac{1}{p'})$, $\gamma\in [(\delta)_{+},\frac{d}{q})$ и функция $f$ интегрируема в $L^{p}(\mathbb{R}^{d})$ со степенным весом $|x|^{p(\gamma-\delta)}$, то ее преобразование Фурье $\mathcal{F}(f)$ принадлежит пространству $L^{q}(\mathbb{R}^{d})$ с весом $|x|^{-q\gamma}$. Случай $p=q$ отвечает известному неравенству Харди–Литлвуда.
Возникает вопрос о расширении условий интегрируемости преобразования Фурье при дополнительных условиях на функции. В одномерном случае G. Hardy и J. Littlewood доказали, что если $f$ — четная невозрастающая стремящаяся к нулю функция и $f\in L^{p}(\mathbb{R})$ для $p\in (1,\infty)$, то $\mathcal{F}(f)$ принадлежит $L^{p}(\mathbb{R})$ с весом $|x|^{p-2}$. R. Boas (1972) предположил, что для монотонной функции $f$ принадлежность $|{ \cdot }|^{\gamma-\delta}f\in L^{p}(\mathbb{R})$ эквивалентна $|{ \cdot }|^{-\gamma}\mathcal{F}(f)\in L^{p}(\mathbb{R})$ тогда и только тогда, когда $\gamma\in (-\frac{1}{p'},\frac{1}{p})$. Одномерная гипотеза Боаса была доказана Y. Sagher (1976).
D. Gorbachev, E. Liflyand и S. Tikhonov (2011) доказали многомерную гипотезу Боаса для радиальных функций, причем на более широком классе обобщенно монотонных неотрицательных радиальных функций $f$: $\||{ \cdot }|^{-\gamma}\mathcal{F}(f)\|_{p}\asymp \||{ \cdot }|^{\gamma-\delta}f\|_{p}$ тогда и только тогда, когда $\gamma\in (\frac{d}{p}-\frac{d+1}{2},\frac{d}{p})$, где $\delta=d(\frac{1}{p}-\frac{1}{p'})$. Для радиальных функций преобразование Фурье выражается через преобразование Бесселя полуцелого порядка, которое сводится к классическому преобразованию Ханкеля и включает косинус- и синус-преобразования Фурье. Для последних гипотеза Боаса доказана E. Liflyand и S. Tikhonov (2008). Для преобразования Бесселя–Ханкеля с произвольным порядком гипотеза Боаса доказана L. De Carli, D. Gorbachev и S. Tikhonov (2013). D. Gorbachev, V. Ivanov и S. Tikhonov (2016) обобщили данные результаты были на случай $(\kappa,a)$-обобщенного преобразования Фурье. A. Debernardi (2019) изучил случай преобразования Ханкеля и обобщенно монотонных знакопеременных функций.
До сих пор гипотеза Боаса рассматривалась для функций на полуоси. В данной работе она изучается на всей оси. Для этого рассматривается интегральное преобразование Данкля, которое для четных функций сводится к преобразованию Бесселя–Ханкеля. Также показывается, что гипотеза Боаса остается справедливой для $(\kappa,a)$-обобщенного преобразования Фурье, при $a=2$ дающее преобразование Данкля. В итоге имеем

$$ \||{ \cdot }|^{-\gamma}\mathcal{F}_{\kappa,a}(f)\|_{p,\kappa,a}\asymp \||{ \cdot }|^{\gamma-\delta}f\|_{p,\kappa,a}, $$
где $\gamma\in (\frac{d_{\kappa,a}}{p}-\frac{d_{\kappa,a}+\frac{a}{2}}{2},\frac{d_{\kappa,a}}{p})$, $\delta=d_{\kappa,a}(\frac{1}{p}-\frac{1}{p'})$, $d_{\kappa,a}=2\kappa+a-1$.