Чебышевский сборник
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Архив

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Чебышевский сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Чебышевский сборник, 2022, том 23, выпуск 4, страницы 39–51
DOI: https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-4-39-51
(Mi cheb1221)
 

Гипотеза Боаса на оси для преобразования Фурье — Данкля и его обобщения

Д. В. Горбачев

Тульский государственный университет (г. Тула)
Список литературы:
Аннотация: Вопрос интегрируемости преобразования Фурье и других интегральных преобразований $\mathcal{F}(f)$ на классах функций в весовых пространствах $L^{p}(\mathbb{R}^{d})$ является фундаментальной проблемой гармонического анализа. Классический результат Хаусдорфа–Юнга говорит, что если функция $f$ из $L^{p}(\mathbb{R}^{d})$ при $p\in [1,2]$, то ее преобразование Фурье $\mathcal{F}(f)\in L^{p'}(\mathbb{R}^{d})$. При $p>2$ преобразование Фурье в общей ситуации будет обобщенной функцией. Определить преобразование Фурье как обычную функцию при $p>2$ можно за счет рассмотрения весовых пространств $L^{p}(\mathbb{R}^{d})$. В частности, из классического неравенства Питта следует, что если $p,q\in (1,\infty)$, $\delta=d(\frac{1}{q}-\frac{1}{p'})$, $\gamma\in [(\delta)_{+},\frac{d}{q})$ и функция $f$ интегрируема в $L^{p}(\mathbb{R}^{d})$ со степенным весом $|x|^{p(\gamma-\delta)}$, то ее преобразование Фурье $\mathcal{F}(f)$ принадлежит пространству $L^{q}(\mathbb{R}^{d})$ с весом $|x|^{-q\gamma}$. Случай $p=q$ отвечает известному неравенству Харди–Литлвуда.
Возникает вопрос о расширении условий интегрируемости преобразования Фурье при дополнительных условиях на функции. В одномерном случае G. Hardy и J. Littlewood доказали, что если $f$ — четная невозрастающая стремящаяся к нулю функция и $f\in L^{p}(\mathbb{R})$ для $p\in (1,\infty)$, то $\mathcal{F}(f)$ принадлежит $L^{p}(\mathbb{R})$ с весом $|x|^{p-2}$. R. Boas (1972) предположил, что для монотонной функции $f$ принадлежность $|{ \cdot }|^{\gamma-\delta}f\in L^{p}(\mathbb{R})$ эквивалентна $|{ \cdot }|^{-\gamma}\mathcal{F}(f)\in L^{p}(\mathbb{R})$ тогда и только тогда, когда $\gamma\in (-\frac{1}{p'},\frac{1}{p})$. Одномерная гипотеза Боаса была доказана Y. Sagher (1976).
D. Gorbachev, E. Liflyand и S. Tikhonov (2011) доказали многомерную гипотезу Боаса для радиальных функций, причем на более широком классе обобщенно монотонных неотрицательных радиальных функций $f$: $\||{ \cdot }|^{-\gamma}\mathcal{F}(f)\|_{p}\asymp \||{ \cdot }|^{\gamma-\delta}f\|_{p}$ тогда и только тогда, когда $\gamma\in (\frac{d}{p}-\frac{d+1}{2},\frac{d}{p})$, где $\delta=d(\frac{1}{p}-\frac{1}{p'})$. Для радиальных функций преобразование Фурье выражается через преобразование Бесселя полуцелого порядка, которое сводится к классическому преобразованию Ханкеля и включает косинус- и синус-преобразования Фурье. Для последних гипотеза Боаса доказана E. Liflyand и S. Tikhonov (2008). Для преобразования Бесселя–Ханкеля с произвольным порядком гипотеза Боаса доказана L. De Carli, D. Gorbachev и S. Tikhonov (2013). D. Gorbachev, V. Ivanov и S. Tikhonov (2016) обобщили данные результаты были на случай $(\kappa,a)$-обобщенного преобразования Фурье. A. Debernardi (2019) изучил случай преобразования Ханкеля и обобщенно монотонных знакопеременных функций.
До сих пор гипотеза Боаса рассматривалась для функций на полуоси. В данной работе она изучается на всей оси. Для этого рассматривается интегральное преобразование Данкля, которое для четных функций сводится к преобразованию Бесселя–Ханкеля. Также показывается, что гипотеза Боаса остается справедливой для $(\kappa,a)$-обобщенного преобразования Фурье, при $a=2$ дающее преобразование Данкля. В итоге имеем

$$ \||{ \cdot }|^{-\gamma}\mathcal{F}_{\kappa,a}(f)\|_{p,\kappa,a}\asymp \||{ \cdot }|^{\gamma-\delta}f\|_{p,\kappa,a}, $$
где $\gamma\in (\frac{d_{\kappa,a}}{p}-\frac{d_{\kappa,a}+\frac{a}{2}}{2},\frac{d_{\kappa,a}}{p})$, $\delta=d_{\kappa,a}(\frac{1}{p}-\frac{1}{p'})$, $d_{\kappa,a}=2\kappa+a-1$.
Ключевые слова: неравенство Фурье, гипотеза Боаса, неравенство Харди, неравенство Беллмана, преобразование Данкля, обобщенное преобразование Фурье.
Финансовая поддержка Номер гранта
Российский научный фонд 18-11-00199
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 18-11-00199, https://rscf.ru/project/18-11-00199/.
Поступила в редакцию: 07.07.2022
Принята в печать: 08.12.2022
Тип публикации: Статья
УДК: 517.5
Образец цитирования: Д. В. Горбачев, “Гипотеза Боаса на оси для преобразования Фурье — Данкля и его обобщения”, Чебышевский сб., 23:4 (2022), 39–51
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Gor22}
\by Д.~В.~Горбачев
\paper Гипотеза Боаса на оси для преобразования Фурье --- Данкля и~его~обобщения
\jour Чебышевский сб.
\yr 2022
\vol 23
\issue 4
\pages 39--51
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/cheb1221}
\crossref{https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-4-39-51}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/cheb1221
  • https://www.mathnet.ru/rus/cheb/v23/i4/p39
  • Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:56
    PDF полного текста:23
    Список литературы:18
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024