Связь между кольцом $\mathrm{Ad}^*$-инвариантных полиномов и инвариантами Жордана — Кронекера нильпотентных алгебр Ли малой размерности

Эта статья посвящена исследованию взаимосвязи между инвариантами Жордана — Кронекера и свободной порождённостью кольца $\mathrm{Ad}^*$-инвариантных полиномов алгебр Ли размерности меньше или равной семи. На коалгебре алгебры Ли можно задать скобку Пуассона с постоянными коэффициентами, а также скобку Ли-Пуассона. Таким образом, любая пара элементов коалгебры Ли задаёт однопараметрическое семейство кососимметричных билинейных форм, называемое пучком. Для двух любых форм из пучка можно построить базис, в котором они одновременно примут блочно-диагональный вид с блоками двух типов. Этот вид называется разложением Жордана — Кронекера. При этом количество и размеры блоков будут одинаковыми для любой пары форм из пучка. Алгебраическим типом пучка называют количество и размеры блоков в разложении Жордана — Кронекера любой его пары. Почти все пучки одной алгебры Ли имеют одинаковый алгебраический тип, который является инвариантом Жордана — Кронекера данной алгебры Ли. Имеется теорема, которая утверждает, что для нильпотентной алгебры Ли существование двух кронекеровых пучков одного ранга, но различного алгебраического типа означает, что кольцо $\mathrm{Ad}^*$-инвариантных полиномов обязано быть несвободно порождённым. В данной работе рассмотрены все кронекеровы алгебры Ли (из известного списка семимерных нильпотентных алгебр Ли), для которых имеется возможность существования кронекеровых пучков того же ранга, что и ранг алгебры. В результате проверки был получен отрицательный ответ на вопрос о том, верно ли обратное утверждение к сформулированной теореме.