Моноид произведений дзета-функций моноидов натуральных чисел

В работе изучаются алгебраические структуры, возникающие относительно операции умножения двух множеств натуральных чисел. Основными объектами изучения выступают моноид $\mathbb{MN}$ моноидов натуральных чисел и моноид $\mathbb{SN}$ произведений произвольных подмножеств натурального ряда. Также моноидом будет $\mathbb{SN}^*=\mathbb{SN}\setminus\ptyset\$.
Важным свойством этих моноидов является тот факт, что множество всех идемпотентов в моноиде $\mathbb{SN}$, кроме нулевого элемента, совпадает с множеством идемпотентов моноида $\mathbb{SN}^*$ и образует моноид $\mathbb{MN}$.
Наличие такого факта позволило рассмотреть порядок. Относительно порядка $A\le B$ и бинарных операций $\inf$, $\sup$ моноид $\mathbb{MN}$ является не модулярной, полной A-решёткой.
В работе различаются понятия А-решётки как объекта общей алгебры и Т-решётки как объекта теории чисел и геометрии чисел.
В работе определена структура полного метрического пространства с неархимедовой метрикой на моноиде $\mathbb{SN}$. Это позволило доказать теорему о сходимости последовательности рядов Дирихле по сходящимся последовательностям натуральных чисел.
Если рассмотреть произведение двух дзета-функций моноидов натуральных чисел, то оно будет дзета-функцией моноида натуральных чисел только тогда, когда эти моноиды взаимно просты. В общем случае их произведение будет рядом Дирихле с натуральными коэффициентами по моноиду, равному произведению моноидов сомножителей. Этот моноид, порожденный дзета-функциями моноидов натуральных чисел, обозначается через $\mathbb{MD}$. Показано что моноиды $\mathbb{MN}$ и $\mathbb{MD}$ неизоморфны.
В работе определены две малые категории $\mathcal{MN}$ и $\mathcal{SN}$ и изучены некоторые их свойства.