Рекуррентные числовые последовательности: теория и приложения

Теория рекуррентных соотношений являются важной составной частью современной математической науки. Множество числовых последовательностей имеют рекуррентную природу. Часто они естественным образом связаны с теорией чисел (числа Фибоначчи, фигурные числа, числа Мерсенна и Ферма, дружественные числа и др.) или имеют комбинаторные “корни” (элементы треугольника Паскаля, числа Стирлинга, числа Белла, числа Каталана и др.). Применяемые для исследования рекуррентных последовательностей производящие функции подробно изучаются в математическом анализе, предоставляя широкий спектр практико-ориентированных примеров использования классических аналитических построений. Рекурсивные функции играют важную роль в теории алгоритмов.
Приложения теории рекуррентных соотношений крайне востребованы в криптографии (генерация псевдослучайных последовательностей над конечными полями), цифровой обработке сигналов (моделирование обратной связи в системе, где выходные данные одновременно становятся входными для будущего времени), экономике (модели различных секторов экономики – финансового, товарного и др., в которых текущие значения ключевых переменных (процентная ставка, реальный ВВП и т.д.) анализируются с точки зрения прошлых и текущих значений других переменных), биологии (например, модели динамики роста той или иной популяции; вспомним числа Фибоначчи) и др.
Мы рассматриваем несколько аспектов указанной тематики, в том числе:
- историю вопроса, место числовых рекуррентных последовательностей в развитии математической науки и математического образования;
- примеры использования рекуррентного подхода при построении различных классов (и подклассов) специальных чисел (фигурных чисел, дружественных чисел и др.);
- теоретические аспекты использования последовательностей больших периодов над конечными полями в радиолокации и методы генерации псевдослучайных последовательностей для обеспечения криптографической защиты информации, передаваемой на большие расстояния.
В частности, в работе представлена рекуррентная схема построения так называемых центрированных $k$-пирамидальных чисел $CS_k^3(n)$, $n=1, 2, 3, \ldots$, которые представляют собой конфигурации точек, образующих $k$-угольную пирамиду, в основании которой лежит центрированное $k$-угольное число $CS_k(n)$.
Исходя из определения, мы получаем для последовательности $CS_k^3(n)$, $n=1, 2, 3, \ldots$, рекуррентную формулу $CS_k^3(n+1)= CS_k^3(n)+CS_k(n+1), CS_k^3(1)=1.$ Учитывая, что $CS_k(n+1)=\frac{kn^2+kn+2}{2}$, и пользуясь стандартными подходами, мы доказываем, что производящая функция $f(x)$ последовательности $CS_k^3(n)$, $n=1, 2, 3, \ldots$, имеет вид $f(x)=\frac{x(1+(k-2)x+x^2)}{(1-x)^2}, |x|<1,$ в то время как явная формула для $CS_k^3(n)$ имеет вид $ CS_k^3(n)=\frac{kn^3+n(6-k)}{6}.$