Метрический сегмент в классе Громова — Хаусдорфа

В этой статье изучаются свойства метрического сегмента в классе всех метрических пространств, рассматриваемых с точностью до изометрии, с расстоянием Громова — Хаусдорфа. При ограничении на компактные метрические пространства, расстояние Громова — Хаусдорфа становится метрикой. Метрическим сегментом называется класс точек, лежащих между двумя данными. По аксиоматике теории множеств фон Неймана — Бернайса — Гёделя (NGB) собственный класс — это такое «огромное семейство», эквивалентное классу всех множеств, которое уже само множеством не является. В этой статье показано, что любой метрический сегмент в классе Громова — Хаусдорфа, при условии, что существует хотя бы одно метрическое пространство, лежащее на ненулевых расстояниях до концевых точек сегмента, является собственным классом. А сегмент, у которого расстояние между концевыми точками равно нулю — множество. Также доказано, что при ограничении на компактные метрические пространства невырожденный метрический сегмент не является компактным множеством.