Об аналоге задачи Эминяна для системы счисления Фибоначчи

Гельфонд доказал равномерность распределения сумм цифр двоичных разложений натуральных чисел по арифметическим прогрессиям. В дальнейшем этот результат был обобщен на многие другие системы счисления, в том числе, на систему счисления Фибоначчи.
Эминян нашел асимптотическую формулу для количества натуральных чисел $n$, не превосходящих заданного, у которых $n$ и $n+1$ имеют заданную четность суммы цифр двоичного разложения. Недавно данный результат был обобщен Шутовым на случай разложений натуральных чисел в систему счисления Фибоначчи.
В настоящей работе мы рассматриваем более общую задачу о количестве натуральных чисел $n$, не превосходящих заданного $X$, у которых $n$ и $n+l$ имеют заданную четность суммы цифр разложения в систему счисления Фибоначчи. Приведен метод, позволяющий получить асимптотическую формулу для данного количества при всех $l$. В основе метода – изучение некоторых специальных сумм, связанных с задачей и рекуррентных соотношений, которым удовлетворяют эти суммы. Показано, что при всех $l$ и при всех вариантах четности главный член асимптотики отличен от ожидаемого значения $\frac{X}{4}$. Также доказано, что остаточный член имеет порядок $O(\log X)$. В случае $l\leq 10$ константы в главном члене асимптотической формулы найдены в явном виде.
В заключении работы сформулирован ряд открытых проблем для дальнейшего исследования.