Линейные многообразия проекторов

В работе показано, что линейное многообразие матриц вида: $Q=Q_0+\sum a_{i}P_{i}$, может состоять из одних проекторов. Оказывается, для этого необходимо и достаточно, чтобы $P_{i}=Q_{i}-Q_{0}$ и все матрицы $Q_{i}$ были проекторами, причем: $(Q_{i}-Q_{j})^{2}=0$ для любой пары $i$ и $j$. Установлено, что все проекторы, составляющие это линейное многообразие, имеют один ранг и любая пара $A,B$ этих проекторов удовлетворяет $(A-B)^2=0$.
Найдены несколько условий, эквивалентных тому, что два проектора $A,B$ удовлетворяют $(A-B)^2=0$, одно из них в терминах подпространств, определяющих эти проекторы.
Пусть $n$ порядок проекторов $Q_{i}$, $r$ — их ранг, тогда показано, что максимальное число линейно независимых матриц $P_{i}=Q_{i}-Q_{0}$ таких, что выполняются условия $(Q_{i}-Q_{j})^{2}=0$, равно $r(n-r)$. Поэтому, любой проектор ранга $r$ можно представить в виде суммы ортопроектора $Q_{0}$ и линейной комбинации не более, чем $r(n-r)$ проекторов $Q_{i}$, так, что выполняется $(Q_{i}-Q_{j})^2=0$, $i,j=0,1,\dots,r(n-r)$.
В работе вычислено минимальное расстояние между двумя проекторами рангов $k$ и $l-|k-l|^{1/2}$. Максимальное расстояние между двумя ортопроекторами одного ранга $k-(2k)^{1/2}$.
Установлено, что многочлен $h(p,q)=(p-q)^{2}$ играет особую роль для алгебры $\mathcal{A}(p,q)$, порождаемой проекторами $p,q,I$. Многочлен $H$ порождает центр этой алгебры — множество элементов коммутирующих со всеми элементами $\mathcal{A}(p,q)$.