Среднеквадратическое приближение некоторых классов функций комплексного переменного рядами Фурье в весовом пространстве Бергмана $B_{2,\gamma}$

В статье рассматриваются экстремальные задачи среднеквадратического приближения функций комплексного переменного, регулярных в области $\mathscr{D}\subset\mathbb{C}$, рядами Фурье по ортогональной в $\mathscr{D}$ системе функций $\{\varphi_{k}(z)\}_{k=0}^{\infty}$, принадлежащих весовому пространству Бергмана $B_{2,\gamma}$ с конечной нормой
\begin{equation*} \|f\|_{2,\gamma}:=\|f\|_{B_{2,\gamma}}=\left(\frac{1}{2\pi}\iint\limits_{(\mathscr{D})}\gamma(|z|)|f(z)|^{2}d\sigma\right)^{1/2},\end{equation*}
где $\gamma:=\gamma(|z|)\geq 0$ – вещественная интегрируемая в области $\mathscr{D}$ функция, а интеграл понимается в смысле Лебега, $d\sigma:=dxdy$ – элемент площади.
Более подробно исследуется сформулированная задача в случае, когда $\mathscr{D}$ – единичный круг в пространстве $B_{2,\gamma_{\alpha,\beta}}, \gamma_{\alpha,\beta}=|z|^{\alpha}(1-|z|)^{\beta} \alpha,\beta>-1$ – вес Якоби. В этом случае доказаны точные неравенства типа Джексона-Стечкина, связывающие величину наилучшего среднеквадратичного полиномиального приближения $f\in \mathcal{B}_{2,\gamma_{\alpha,\beta}}^{(r)}$ и $\mathscr{K}$-функционала Петре. В случае $\gamma_{\alpha,\beta}\equiv 1$ получаем ранее известные результаты.