Бесконечная линейная независимость с ограничениями на подмножество простых чисел значений рядов эйлерова типа с полиадическим лиувиллевым параметром

Кольцом целых полиадических чисел называется прямое произведение колец целых $p$-адических чисел по всем простым числам $p$. Элементы $\theta$ этого кольца, таким образом, можно рассматривать как бесконечномерные векторы, координаты которых в соответствующем кольце целых $p$-адических чисел обозначаем $\theta^{(p)}$. Бесконечная линейная независимость полиадических чисел $\theta_{1},\ldots,\theta_{m}$ означает, что для любой ненулевой линейной формы $h_{1}x_{1}+\ldots+h_{m}x_{m}$ с целыми коэффициентами $h_{1},\ldots,h_{m}$ существует бесконечное множество простых чисел $p$ таких, что в поле $ \mathbb{\mathrm{Q}}_p $ выполняется неравенство
$$h_{1}\theta_{1}^{(p)}+\ldots+h_{m}\theta_{m}^{(p)}\neq 0.$$
Вместе с тем, представляют интерес задачи, в которых рассматриваются простые числа только из некоторых собственных подмножеств множества простых чисел. Будем говорить в таком случае о бесконечной линейной независимости с ограничениями на указанное множество.
Каноническое представление элемента $\theta $ кольца целых полиадических чисел имеет вид ряда
$$ \theta= \sum_{n=0}^\infty a_{n} n!, a_{n}\in\mathbb{\mathrm{Z}}, 0\leq a_{n}\leq n.$$
Разумеется, ряд, члены которого — целые числа, сходящийся во всех полях $p$-адических чисел, представляет собой целое полиадическое число. Будем называть полиадическое число $\theta$ полиадическим числом Лиувилля (или лиувиллевым полиадическим числом), если для любых чисел $n$ и $P$ существует натуральное число $A$ такое, что для всех простых чисел $p$ , удовлетворяющих неравенству $p\leq P$ ,выполнено неравенство
$$\left|\theta -A \right|_{p}<A^{-n}.$$
Здесь будет доказана бесконечная линейная независимость полиадических чисел
$$ f_{0}(1)=\sum_{n=0}^\infty (\lambda)_{n}, f_{1}(1)=\sum_{n=0}^\infty (\lambda +1)_{n}.$$
с ограничениями на множество ппостых чисел в совокупности арифметических прогрессий.
Важным аппаратом получения этого результата являются построенные в работе Ю.В. Нестеренко [4] аппроксимации Эрмита–Паде обобщенных гипергеометрических функций. Использован подход из работы Эрнвалл-Хитонен, Матала-Ахо, Сеппела [5].