|
Целочисленные многочлены и теорема Минковского о линейных формах
В. И. Берникa, И. А. Корлюковаb, А. С. Кудинa, А. В. Титоваa a Институт математики НАН Беларуси
(г. Минск)
b Гродненский государственный университет (г. Гродно)
Аннотация:
В статье теорема Минковского о линейных формах [1] применяется к многочленам с целыми коэффициентами \begin{align} P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 \end{align} степени $degP = n$ и высоты $H(P)=\max_{0 \le i \le n} |a_i|$. Тогда для любого $x \in [0,1)$ и натурального числа $Q > 1$ получим неравенство \begin{align} |P(x)| < c_1(n) Q ^{-n}, \end{align} для некоторого $P(x), H(P) \leq Q$. Неравенство (2) означает, что весь интервал $[0,1)$ может быть покрыт интервалами $I_i, i = 1, 2, \ldots$ во всех точках которых верно неравенство (2). Дан ответ на вопрос о величине интервалов $I_i$. Основной результат статьи заключается в доказательстве следующего утверждения.
Для любого $v$, $0 \leq v < \frac{n+1}{3}$, найдется интервал $J_k$, $k=1,\ldots,K$, такой что для всех $x \in J_k$ выполняется неравенство (2) и при этом \begin{align*} c_2 Q^{-n-1+v} < \mu J_k < c_3 Q^{-n-1+v}. \end{align*}
Ключевые слова:
диофантовы приближения, мера Лебега, теорема Минковского.
Поступила в редакцию: 07.08.2021 Принята в печать: 27.02.2022
Образец цитирования:
В. И. Берник, И. А. Корлюкова, А. С. Кудин, А. В. Титова, “Целочисленные многочлены и теорема Минковского о линейных формах”, Чебышевский сб., 23:1 (2022), 45–52
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/cheb1154 https://www.mathnet.ru/rus/cheb/v23/i1/p45
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 47 | PDF полного текста: | 24 | Список литературы: | 13 |
|