О геометрии обобщенных почти кватернионных многообразий вертикального типа

В работе исследуются обобщенные почти кватернионные многообразия вертикального типа. Приведены примеры этого типа многообразий. Доказано, что на обобщенном почти кватернионном многообразии всегда существует почти $\alpha$-кватернионная связность, которая в главном расслоении индуцирует метрическую связность. Получен критерий автодуальности проектируемой вертикальной $2$-формы на почти $\alpha$-кватернионном многообразии. Получены компоненты структурного эндоморфизма на пространстве $G$-структуры. Получен ответ на вопрос: когда эндоморфизм Римана-Кристоффеля сохраняет келеров модуль многообразия. Доказано, эндоморфизм Римана-Кристоффеля эрмитова почти $\alpha$-кватернионного многообразия вертикального типа сохраняет келеров модуль многообразия тогда и только тогда, когда структурный пучок этого многообразия является эйнштейновским. Откуда как следствие получаем, что четырёхмерное многообразие с римановой либо нейтральной псевдоримановой метрикой является многообразием Эйнштейна тогда и только тогда, когда его модуль автодуальных форм инвариантен относительно эндоморфизма Римана-Кристоффеля. Полученное следствие показывает, что предыдущий результат является широким обобщением теоремы Атьи-Хитчина-Сингера, дающей критерий эйнштейновости 4-мерных римановых многообразий в терминах автодуальных форм, поскольку результат обобщает эту теорему на случай нейтральной псевдоримановой метрики. С другой стороны, этот результат тесно связан с известным результатом Берже, который уточняет её в частном случае кватернионно-келеровых многообразий: если многообразие $M$ кватернионно-келерово, то его риманова связность (а не только оператор Римана-Кристоффеля) сохраняет келеров модуль многообразия. В этом случае $M$ является многообразием Эйнштейна.