О средних значениях функций Чебышёва и их приложениях

В предположении справедливости расширенной гипотезы Римана для средних значений функций Чебышёва по всем характерам модуля $q$ имеет место оценка
$$ t(x;q)=\sum_{\chi\mod q}\max_{y\leq x}|\psi(y,\chi)|\ll x+x^{1/2}q\mathscr{L}^2,\quad \mathscr{L}=\ln xq. $$
При решении ряда задач теории простых чисел достаточно, чтобы для $t(x;q)$ имелась оценка, близкая к этой оценке. Лучшие оценки для $t(x;q)$ ранее принадлежали Г. Монтгомери, Р. Вону и З. Х. Рахмонову. В работе получена новая оценка вида
$$ t(x;q)=\sum_{\chi\mod q}\max_{y\leq x}|\psi(y,\chi)|\ll x\mathscr{L}^{28}+x^{\frac{4}{5}}q^{\frac12}\mathscr{L}^{31}+x^\frac{1}{2}q\mathscr{L}^{32}, $$
с помощью которой для линейной тригонометрической суммы с простыми числами при $\left|\alpha-\frac aq\right|<\frac{1}{q^2}$, $(a,q)=1$, найдена более точная оценка
$$ S(\alpha,x)\ll xq^{-\frac12}\mathscr{L}^{33}+x^{\frac{4}{5}}\mathscr{L}^{32}+x^\frac{1}{2}q^\frac12\mathscr{L}^{33}, $$
а также изучено распределение чисел Харди-Литтлвуда вида $p+n^2$ в коротких арифметических прогрессиях в случае, когда разность прогрессии является степенью простого числа.