Топологическая классификация некомпактных 3-атомов с действием окружности

Для интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы рассматривается задача описания топологии слоения Лиувилля в 3-мерной некомпактной инвариантной окрестности особого слоя. При этом все особенности системы предполагаются невырожденными. В случае, когда все слои компактны, эта задача решена: известная теорема А. Т. Фоменко утверждает, что любая невырожденная 3-мерная особенность (3-атом) представляет собой $S^1$-расслоение специального вида (расслоение Зейферта) над двумерной особенностью (2-атомом). Тем самым задача топологической классификации 3-атомов сводится к существенно более простому вопросу классификации 2-атомов (т. е. особенностей слоений, задаваемых функциями Морса на двумерных поверхностях). Последний вопрос хорошо изучен в рамках теории А. Т. Фоменко топологической классификации интегрируемых систем.
В некомпактном случае запас всех 3-атомов становится существенно шире. Поэтому мы ограничиваемся рассмотрением только таких 3-атомов, которые удовлетворяют следующим условиям: полнота гамильтоновых потоков, порождаемых первыми интегралами системы, конечность числа орбит гамильтонова действия группы $\mathbb{R}^2$ на особом слое и существование среди них нестягиваемой орбиты. При этих условиях мы доказываем существование на 3-атоме гамильтонова локально свободного $S^1$-действия, сохраняющего слои слоения Лиувилля. В качестве следствия мы получаем некомпактный аналог теоремы А. Т. Фоменко и тем самым сводим задачу классификации некомпактных 3-атомов, удовлетворяющих перечисленным условиям, к аналогичной классификационной задаче для некомпактных 2-атомов, решённой нами ранее.