Преобразования метрик, сохраняющие геометрические характеристики конечных метрических пространств

Задан класс $F$ псевдометрических пространств и семейство преобразований $T$ псевдометрики. Нужно было описать семейство преобразований $T'\subset T$, которые переводят $F$ в себя и сохраняют некоторые типы минимальных заполнений. Был рассмотрен случай, когда $F$ — класс всех конечных псевдометрических пространств, класс $T$ состоит из отображений $M\mapsto AM+\tau$, где матрицы $A$ и $\tau$ задают отображение матрицы псевдометрики $M$, а элементы $T'$ сохраняют типы $G$ минимальных заполнений псевдометрического пространства, точки которого соответствуют вершинам степени $1$ графов $G$, и доказано, что $A=\lambda E$ для некоторого $\lambda\ge 0$, а $\tau$ является матрицей псевдометрики, одно из минимальных заполнений которой — звезда; когда $F$ — класс всех конечных псевдометрических пространств, класс $T$ состоит из отображений $\rho\to A\rho$, где $A$ — диагонализируемая матрица c двумя собственными числами $\lambda_{max}>\lambda_{min}\ge 0$, наибольшее собственное значение $\lambda_{max}$ которой имеет кратность $1$, собственное пространство, соответствующее значению $\lambda_{min}$, не содержит ненулевых псевдометрик, а элементы $T'$ сохраняют типы $G$ минимальных заполнений псевдометрического пространства, точки которого соответствуют вершинам степени $1$ графов $G$. И доказано, что для любой матрицы отображения из $T'$ существует псевдометрика, являющаяся собственным вектором с собственным значением $\lambda_{max}$, среди минимальных заполнений для которой есть заполнение типа звезда.