Точные неравенства Бернштейна — Никольского для полиномов и целых функций экспоненциального типа

Классические неравенства Бернштейна — Никольского вида $\|Df\|_{q}\le \mathcal{C}_{pq}\|f\|_{p}$ для $f\in Y$, дают оценки $pq$-норм дифференциальных операторов $D$ на классах $Y$ полиномов и целых функций экспоненциального типа. Данные неравенства играют важную роль в гармоническом анализе, теории приближений и находят приложения в теории чисел, метрической геометрии. Изучаются как порядковые неравенства, так и неравенства с точными константами. Последний случай особенно интересен тем, что экстремальные функции зависят от геометрии многообразия и этот факт помогает при решении геометрических проблем.
Исторически неравенства Бернштейна относят к случаю $p=q$, а неравенства Никольского — к оценке тождественного оператора при $p<q$. Впервые оценка производной тригонометрического полинома при $p=\infty$ была дана С.Н. Бернштейном (1912), хотя ранее А.А. Марков (1889) привел ее алгебраический вариант. Неравенство Бернштейна уточнялось Э. Ландау, М. Риссом, а А. Зигмунд (1933) доказал его для всех $p\ge 1$. При $p<1$ порядковое неравенство Бернштейна нашли В.И. Иванов (1975), Э.А. Стороженко, В.Г. Кротов и П. Освальд (1975), а точное неравенство — В.В. Арестов (1981). Для целых функций экспоненциального типа точное неравенство Бернштейна доказали Н.И. Ахиезер, Б.Я. Левин ($p\ge 1$, 1957), Q.I. Rahman и G. Schmeisser ($p<1$, 1990).
Первые одномерные неравенства Никольского при $q=\infty$ установлены Д. Джексон (1933) для тригонометрических полиномов и J. Korevaar (1949) для целых функций экспоненциального типа. Во всей общности для $q\le \infty$ и $d$-мерного пространства это было сделано С.М. Никольским (1951). Оценки констант Никольского уточнялись И.И. Ибрагимовым (1959), D. Amir и Z. Ziegler (1976), R.J. Nessel и G. Wilmes (1978) и многими другими. Порядковые неравенства Бернштейна — Никольского для разных интервалов изучала Н.К. Бари (1954). Варианты неравенств для общих мультипликаторных дифференциальных операторов и весовых многообразий можно найти в работах П.И. Лизоркина (1965), А.И. Камзолова (1984), А.Г. Бабенко (1992), А.И. Козко (1998), К.В. Руновского и H.-J. Schmeisser (2001), F. Dai и Y. Xu (2013), В.В. Арестова и П.Ю. Глазыриной (2014) и других авторов.
Долгое время теория неравенств Бернштейна — Никольского для полиномов и целых функций экспоненциального типа развивалась параллельно пока E. Levin и D. Lubinsky (2015) не установили, что при всех $p>0$ константа Никольского для функций является пределом тригонометрических констант. Для констант Бернштейна — Никольского этот факт доказан М.И. Ганзбургом и С.Ю. Тихоновым (2017) и уточнен автором совместно с И.А. Мартьяновым (2018, 2019). Многомерные результаты типа Левина — Любинского доказаны автором совместно с F. Dai и С.Ю. Тихоновым (сфера, 2020), М.И. Ганзбургом (тор, 2019 и куб, 2021). До сих пор точные константы Никольского известны только при $(p,q)=(2,\infty)$. Интригующим является случай константы Никольского для $p=1$. Продвижение в данной проблематике получено Я.Л. Геронимусом (1938), С.Б. Стечкиным (1961), Л.В. Тайковым (1965), L. Hörmander и B. Bernhardsson (1993), Н.Н. Андреевым, С.В. Конягиным и А.Ю. Поповым (1996), автором (2005), автором и И.А. Мартьяновым (2018), И.Е. Симоновым и П.Ю. Глазыриной (2015). E. Carneiro, M.B. Milinovich и K. Soundararajan (2019) указали приложения в теории дзета-функции Римана. В.В. Арестов, М.В. Дейкалова и их соавторы (2016, 2018) охарактеризовали экстремальные полиномы для общих весовых констант Никольского, применяя двойственность. Здесь у истоков стояли С.Н. Бернштейн, Л.В. Тайков (1965, 1993) и другие.
Новым направлением является доказательство точных неравенств Никольского на классах функций с ограничениями. Здесь обнаруживается связь с экстремальными задачами гармонического анализа Турана, Дельсарта, принципа неопределенности J. Bourgain, L. Clozel и J.-P. Kahane (2010) и другими. Например, автором с соавторами (2020) показано, что точная константа Никольского для неотрицательных сферических полиномов дает оценку сферических дизайнов P. Delsarte, J.M. Goethals и J.J. Seidel (1977). Варианты задач для функций приводят к знаменитым оценкам плотности сферической упаковки, а порядковые результаты тесно связаны с неравенствами Фурье.
Данные результаты излагаются в рамках общей теории неравенств Бернштейна — Никольского, приводятся приложения в теории приближений, теории чисел, метрической геометрии, предлагаются открытые проблемы.