Математические определяющие уравнения деформирования материалов с двойной анизотропией

Анализируются механические свойства широко распространенных в технике композитных и полимерных материалов. Подтверждено, что абсолютное большинство из них обладают структурной анизотропией разного класса. Кроме того, показано, что эти конструкционные материалы зачастую проявляют чувствительность деформационных характеристик к виду напряженного состояния. Ввиду того, что классические математические модели, описывающие состояния подобных материалов, приводят к грубым ошибкам при расчете элементов конструкций, а известные, специально разработанные для них теории достаточно противоречивы и имеют существенные недостатки, авторами предлагается энергетическая модель определяющих соотношений для сред, имеющих структурную и деформационную анизотропии. Эта модель основана на использовании нормированного тензорного пространства напряжений, которое обладает несомненным преимуществом по сравнению с сингулярными функциями и параметрами, имеющими бесконечный интервал изменения, которые используются в известных вариантах теорий деформирования материалов с двойной анизотропией. В качестве конкретного класса структурной анизотропии приняты ортотропные материалы, для которых постулируется потенциал деформаций, определенный в главных структурных осях. Дифференцированием сформулированного потенциала согласно рекомендация правил Кастильяно установлены уравнения связи двух тензоров второго ранга – деформаций и напряжений. Показано, что эти уравнения имеют нелинейный вид, что усугубляет проблему единственности решений краевых задач. Для идентификации полученной модели определяющих уравнений рекомендована программа экспериментов, включающая в себя механические испытания на одноосные растяжение и сжатие вдоль главных осей анизотропии материала, а также – на чистый сдвиг в трех плоскостях ортотропии. Приведены основные технические константы ряда широко используемых в технике композитных и полимерных материалов. На основе использования постулата о положительной определенности энергетической поверхности проверена непротиворечивость предложенного потенциала деформаций. С использованием этой проверки доказана теорема единственности решения краевых задач механики деформируемого твердого тела. Принимая во внимание правила преобразования компонентов тензоров второго ранга при повороте осей выбранной системы координат, показано, что напряжения, вычисленные в главных осях ортотропии, пересчитываются в новой системе по традиционным формулам.