О бифуркации решения задачи Ферма — Штейнера при $1$-параметрической вариации границы в $H(\mathbb{R}^2)$

В данной работе рассматривается задача Ферма — Штейнера в гиперпространствах с метрикой Хаусдорфа. Если $X$ — метрическое пространство, и фиксировано непустое конечное подмножество $\mathcal{A}$ в пространстве непустых замкнутых и ограниченных подмножеств $H(X)$, то элемент $K\in H(X)$, на котором достигается минимум суммы расстояний до элементов $\mathcal{A}$, будем называть астровершиной Штейнера, сеть, соединяющую $\mathcal{A}$ с $K$, — минимальной астросетью, а само $\mathcal{A}$ — границей. В случае ограниченно компактного $X$ все его элементы являются компактами, а множество астровершин Штейнера непусто. В настоящей статье доказывается критерий того, когда астровершина Штейнера для одноточечных граничных компактов в $H(X)$ является одноточечной. Кроме того, получена нижняя оценка длины минимальной параметрической сети через длину астросети с одноточечными вершинами, содержащимися в граничных компактах, и изучены свойства границ, для которых достигается точная оценка. Также изучены бифуркации астровершин Штейнера при $1$-параметрической деформации трехэлементных границ в $H(\mathbb{R}^2)$, которые иллюстрируют геометрические феномены, отсутствующие в классической задаче Штейнера для точек в $\mathbb{R}^2$.