Оценка коротких тригонометрических сумм с простыми числами в длинных дугах

При решении ряда аддитивных задач с почти равными слагаемыми наряду с оценкой коротких тригонометрических сумм с простыми числами вида
$$ S_k(\alpha;x,y)=\sum_{x-y<n\le x}\Lambda(n)e(\alpha n^k), $$
в малых дугах, также нужны оценки этих сумм в больших дугах за исключением малой окрестности их центров, и асимптотическая формула в малой окрестности центра больших дуг.
В работе, воспользовавшись вторым моментом $L$-функций Дирихле на критической прямой для $S_k(\alpha;x,y)$ в больших дугах $\mathfrak{M}(\mathscr{L}^b)$, $\tau=y^5x^{-2}\mathscr{L}^{-b_1}$, $\mathscr{L} =\ln xq$ за исключением малой окрестности их центров $|\alpha-\frac{a}{q}|>\left(2\pi k^2x^{k-2}y^2\right)^{-1}$, при $y\ge x^{1-\frac{1}{2k-1+\eta_k}}\mathscr{L}^{c_k}$,
$$ \eta_k=\frac{2}{4k-5+2\sqrt{(2k-2)(2k-3)}}, c_k= \frac{2A+22+\left(\frac{2\sqrt{2k-3}}{\sqrt{2k-2}}-1\right)b_1}{2\sqrt{(2k-2)(2k-3)}-(2k-3)}, $$
получена нетривиальная оценка вида
$$ S_k(\alpha;x,y)\ll y\mathscr{L}^{-A}, $$
где $A$, $b_1$, $b$ — произвольные фиксированные положительные числа, а в малой окрестности центров больших дуг доказана асимптотическая формула.