Свойства и применение положительного оператора сдвига для $(k,1)$-обобщенного преобразования Фурье

В 2012 году Салем Бен Саид, Кобаяши и Орстед определили двупараметрическое $(k,a)$-обобщенное преобразование Фурье, действующее в пространствах с весом $|x|^{a-2}v_k(x)$, $a>0$, где $v_k(x)$ — вес Данкля. Наиболее интересны случаи $a=2$ и $a=1$. При $a=2$ обобщенное преобразование Фурье совпадает с преобразованием Данкля и оно хорошо изучено. В случае $a=1$ гармонический анализ, важный, в частности, в задачах квантовой механики, изучен пока еще не достаточно. Одним из существенных элементов гармонического анализа является ограниченный оператор сдвига, позволяющий определить свертку и структурные характеристики функций. При $a=1$ имеется оператор сдвига $\tau^y$. Его $L^p$-ограниченность установлена Салемом Бен Саидом и Делеавалом, но только на радиальных функциях и при $1\le p\le 2$. Ранее при $a=1$ мы предложили новый положительный оператор обобщенного сдвига $T^tf(x)$, $t\in\mathbb{R}_+$, $x\in\mathbb{R}^d$, и доказали его $L^p$-ограниченность по $x$. В настоящей работе доказана его $L^p$-ограниченность по $t$. Для оператора сдвига $\tau^y$, $L^p$-ограниченность на радиальных функциях установлена и для $2<p<\infty$. С помощью оператора $T^t$ определена свертка и для нее доказано неравенство Юнга. Для $(k,1)$-обобщенных средних, определяемых с помощью свертки, установлены достаточные условия $L^p$-сходимости и сходимости почти всюду. Выполнение этих условий проверено для аналогов классических методов суммирования Гаусса-Вейерштрасса, Пуассона, Бохнера – Рисса.