Арифметические свойства элементов прямых произведений $p$-адических полей, II

В статье рассматриваются вопросы трансцендентности и алгебраической независимости, формулируются и доказываются теоремы для некоторых элементов прямых произведений $p$-адических полей. Пусть $\mathbb{Q}_p$ — пополнение $\mathbb{Q}$ по $p$-адической норме, поле $\Omega_{p}$ — пополнение алгебраического замыкания $\mathbb{Q}_p$, $g=p_1p_2\ldots p_n$ — произведение различных простых чисел, а пополнение $\mathbb{Q}$ по $g$-адической псевдонорме это кольцо $\mathbb{Q}_g$, иными словами $\mathbb{Q}_{p_1}\oplus\ldots\oplus\mathbb{Q}_{p_n}$. Рассматривается кольцо $\Omega_g\cong\Omega_{p_1}\oplus\ldots\oplus\Omega_{p_n}$, содержащее $\mathbb{Q}_g$ в качестве подкольца. Вопросы о трансцендентности и алгебраической независимости над $\mathbb{Q}_g$ элементов $\Omega_g$ привели к результатам полученным в статье. При соблюдении некоторых условий можно делать соответствующие выводы не только для чисел вида $\alpha=\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_{k}g^{r_{k}}$, где $a_{k}\in \mathbb Z_g,$ а неотрицательные рациональные числа $r_{k}$ образуют возрастающую и стремящуюся к $+\infty$ при $j\rightarrow +\infty$ последовательность. Но и для чисел вида $f(\alpha)$, где $f(z)=\sum\limits_{j=0}^{\infty}c_jz^j\in\mathbb Z_g[[z]]$. Кроме того, пусть $\widehat{\mathbb Q}\cong\prod\limits_{p}\mathbb{Q}_p$ — кольцо полиадических чисел, тогда, рассматривая элементы кольца $\widehat{\Omega}=\prod\limits_{p}\Omega_p$, можно делать аналогичные выводы для чисел вида $f(\alpha)$, где $f(z)=\sum\limits_{j=0}^{\infty}c_jz^j\in\widehat{\mathbb Z}[[z]]$, $\alpha=\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_{k}g^{r_{k}}$, $a_{k}\in \mathbb Z_g,$ $g=(p_1,\ldots,p_n,\ldots)$.