Об аналоге задачи Гельфонда для обобщенных разложений Цеккендорфа

Гельфонд доказал что при условии взаимной простоты $b-1$ и $d$ суммы цифр разложений натуральных чисел в $b$-ичную систему счисления равномерно распределены по арифметическим прогрессиям с разностью $d$. Позднее аналогичный результат был получен для разложений натуральных чисел по линейным рекуррентным последовательностям.
Мы рассматриваем вопрос об остаточном члене в соответствующей асимптотике и изучаем дихотомию между логарифмической и степенной оценкой остаточного члена. В случае $d=2$ получены некоторые достаточные условия справедливости логарифмической оценки. С их помощью показано, что логарифмическая оценка имеет место для разложений по всем рекуррентным последовательностям порядка $2$ и бесконечному семейству последовательностей порядка $3$, а также строим пример линейной рекуррентной последовательности произвольного порядка с таким свойством. С другой стороны, мы приводим пример линейной рекуррентной последовательности третьего порядка, для которой логарифмическая оценка не имеет места. Также нами показано, что для $d=3$ логарифмическая оценка не имеет места уже в простейшем случае разложений по числам Фибоначчи.
Кроме того, мы рассматриваем разложения натуральных чисел по знаменателям подходящих дробей к произвольному иррациональному числу. В этом случае нами доказана равномерность распределения сумм цифр по арифметическим прогрессиям с разностью $2$ с логарифмическим остаточным членом.