Эндоморфизмы полуциклических $n$-групп

Одной из основных проблем для полуабелевых $n$-групп является нахождение $(n,2)$-почтиколец, которые изоморфны $(n,2)$-почтикольцам эндоморфизмов некоторых полуабелевых $n$-групп. Такие $(n,2)$-почтикольца найдены для полуциклических $n$-групп.
На аддитивной группе целых чисел $Z$ строим абелеву $n$-группу $\langle Z,f_1\rangle$ с $n$-арной операцией $f_1(z_1,\ldots,z_n)=z_1+\ldots+z_n+l$, где $l$ — любое целое число. Для не тождественного автоморфизма $\varphi(z)=-z$ на $Z$ можно задать полуабелеву $n$-группу $\langle Z,f_2\rangle$ для $n=2k+1$, $k\in N$, с $n$-арной операцией $f_2(z_1,\ldots,z_n)=z_1-z_2+\ldots+z_{2k-1}-z_{2k}+z_{2k+1}$. Любая бесконечная полуциклическая $n$-группа изоморфна $n$-группе $\langle Z,f_1\rangle$, где $0\leq l\leq [\frac{n-1}{2}]$, либо $n$-группе $\langle Z,f_2\rangle$ для нечетных $n$. В первом случае будем говорить, что такая $n$-группа имеет тип $(\infty,1,l)$, а во втором случае — имеет тип $(\infty,-1,0)$.
В $Z$ выделим множество $P=\{ m | ml \equiv l \pmod{n-1} \}$ и на нем определим $n$-арную операцию $h$ по правилу $h(m_1,\ldots,m_n)=m_1+\ldots+m_n$. Тогда алгебра $\langle P,h,\cdot\rangle$, где $\cdot$ — умножение целых чисел, будет $(n,2)$-кольцом. Доказано, что $\langle P,h,\cdot\rangle$ изоморфно $(n,2)$-кольцу эндоморфизмов полуциклической $n$-группы типа $(\infty,1,l)$.
В $n$-группе $\langle Z\times Z,h\rangle=\langle Z,f_2\rangle\times\langle Z,f_2\rangle$ определим бинарную операцию $\diamond$ по правилу $(m_1,u_1)\diamond (m_2,u_2)=(m_1m_2,m_1u_2+u_1).$ Тогда $\langle Z\times Z,h,\diamond\rangle$ будет $(n,2)$-почтикольцом.
Доказано, что $\langle Z\times Z,h,\diamond\rangle$ изоморфно $(n,2)$-почтикольцу эндоморфизмов полуциклической $n$-группы типа $(\infty,-1,0)$. Доказано, что $(n,2)$-кольцо $\langle Z,f,*\rangle$, где $f(z_1,\ldots,z_n)=z_1+\ldots+z_n+1$ и $z_1*z_2=$ $=z_1z_2(n-1)+z_1+z_2$, изоморфно $(n,2)$-кольцу эндоморфизмов бесконечной циклической $n$-группы.
На аддитивной группе кольца классов вычетов $Z_k$ определим $n$-группу $\langle Z_k,f_3\rangle$, где $n$-арная операция $f_3$ действует по правилу $f_3(z_1,\ldots,z_n)=z_1+mz_2+\ldots+m^{n-2}z_{n-1}+z_n+l$, $1\leq m<k$ и $m$ взаимно прост с $k$. Кроме того, $m$ удовлетворяет сравнению $lm \equiv l \pmod{k}$ и показатель числа $m$ по модулю $k$ делит $n-1$. Любая конечная полуциклическая $n$-группа порядка $k$ изоморфна $n$-группе $\langle Z_k,f_3\rangle$, где $l\mid \textrm{НОД}~(n-1,k)$ при $m=1$ и $l\mid \textrm{НОД}~(\frac{m^{n-1}-1}{m-1},k)$ при $m\ne 1$. Будем говорить, что такая $n$-группа имеет тип $(k,m,l)$.
В $n$-группе $\langle P,h\rangle=\langle Z_k,f_3\rangle\times\langle Z_l,f_4\rangle$, где $f_4(z_1,\ldots,z_n)=z_1+rz_2+\ldots+r^{n-2}z_{n-1}+z_n$, $r$ — остаток от деления $m$ на $l$, определим бинарную операцию $\diamond$ по правилу
$$(u_1,v_1)\diamond(u_2,v_2)=(u_2s_1+u_1,v_2s_1+v_1)$$
где $s_1\in Z_k$ и $s_1-1=s_0+v_1\frac{k}{l}$, где $s_0$ — решение сравнения $x\equiv \frac{(n-1)u_1}{l} \pmod{\frac{k}{l}}$ при $m=1$ и $x\equiv \frac{\frac{m^{n-1}-1}{m-1}u_1}{l} \pmod{\frac{k}{l}}$ при $m\ne 1$. Доказано, что алгебра $\langle P,h,\diamond\rangle$ будет $(n,2)$-кольцом при $m=1$ и $(n,2)$-почтикольцом при $m\ne 1$, которое изоморфно $(n,2)$-кольцу эндоморфизмов абелевой полуциклической $n$-группы типа $(k,1,l)$ при $m=1$ и $(n,2)$-почтикольцу эндоморфизмов полуциклической $n$-группы типа $(k,m,l)$ при $m\ne 1$.
Доказано, что $(n,2)$-кольцо $\langle Z_k,f,*\rangle$, где $f(z_1,\ldots,z_n)=z_1+\ldots+z_n+1$ и $u_1*u_2=$ $=u_1\cdot u_2\cdot(n-1)+u_1+u_2$, изоморфно $(n,2)$-кольцу эндоморфизмов конечной циклической $n$-группы порядка $k$.