Гомоморфизмы из бесконечных полуциклических $n$-групп в полуабелеву $n$-группу

Одной из основных проблем для полуабелевых $n$-групп является нахождение полуабелевых $n$-групп, которые изоморфны $n$-группам гомоморфизмов из некоторых $n$-групп в полуабелеву $n$-группу. Такие $n$-группы найдены для бесконечных полуциклических $n$-групп.
Известно, что множество $Hom(G,C)$ всех гомоморфизмов из $n$-группы $\langle G,f_1\rangle$ в полуабелеву (абелеву) $n$-группу $\langle C,f_2\rangle$ с $n$-арной операцией $g$, заданной по правилу
$$g(\varphi_1,\ldots,\varphi_n)(x)=f_2(\varphi_1(x),\ldots,\varphi_n(x)), x\in G,$$
образует полуабелеву (абелеву) $n$-группу. Доказано, что изоморфизмы $\psi_1$ $n$-групп $\langle G,f_1\rangle$ и $\langle G',f'_1\rangle$ и $\psi_2$ полуабелевых $n$-групп $\langle C,f_2\rangle$ и $\langle C',f'_2\rangle$ индуцируют изоморфизм $\tau$ $n$-групп гомоморфизмов $\langle Hom(G,C),g\rangle$ и $\langle Hom(G',C'),g'\rangle$, который действует по правилу $\tau: \alpha\to\psi_2\circ\alpha\circ\psi_1^{-1}$.
На аддитивной группе целых чисел $Z$ строим абелеву $n$-группу $\langle Z,f_1\rangle$ с $n$-арной операцией $f_1(z_1,\ldots,z_n)=z_1+\ldots+z_n+l$, где $l$ — любое целое число. На $Z$ строим также полуабелеву (не абелеву) $n$-группу $\langle Z,f'_1\rangle$ для $n=2k+1$, $k\in N$, с $n$-арной операцией $f'_1(z_1,\ldots,z_n)=z_1-z_2+\ldots+z_{2k-1}-z_{2k}+z_{2k+1}$. Известно, что любая бесконечная полуциклическая $n$-группа изоморфна $n$-группе $\langle Z,f_1\rangle$, где $0\leq l\leq [\frac{n-1}{2}]$, либо $n$-группе $\langle Z,f'_1\rangle$ для нечетных $n$. В первом случае будем говорить, что такая $n$-группа имеет тип $(\infty,1,l)$, а во втором случае — имеет тип $(\infty,-1,0)$.
При изучении $n$-группы гомоморфизмов $\langle Hom(Z,C),g\rangle$ из бесконечной абелевой полуциклической $n$-группы $\langle Z,f_1\rangle$ ($0\leq l\leq\frac{n-1}{2}$) в полуабелеву $n$-группу $\langle C,f_2\rangle$ строим на $n$-группе $\langle C,f_2\rangle$ абелеву группу $C$ с операцией сложение $a+b=f_2(a,\overset{(n-3)}{c},\bar c,b)$, в которой имеются элемент $d_2=f_2(\overset{(n)}{c})$ и автоморфизм $\varphi_2(x)=f_2(c,x,\overset{(n-3)}{c},\bar c)$. Выбираем множество $P_1$ таких упорядоченных пар $(a,u)$ элементов из $C$, которые удовлетворяют равенству $ la=d_2+\overset{\sim}{\varphi_2}(u)$, где $\overset{\sim}{\varphi_2}(x)=x+\varphi_2(x)+\ldots+\varphi^{n-2}_2(x), x\in C$ — эндоморфизм группы $C$, а для первой компоненты этих пар верно равенство $\varphi_2(a)=a$. На этом множестве определим $n$-арную операцию $h_1$ по правилу $h_1((a_1,u_1),\ldots,(a_n,u_n))=(a_1+\ldots+a_n,f_2(u_1,\ldots,u_n))$. Доказано, что $\langle P_1,h_1\rangle$ — полуабелева $n$-группа, которая изоморфна $n$-группе гомоморфизмов из бесконечной абелевой полуциклической $n$-группы $\langle Z,f_1\rangle$ ($0\leq l\leq\frac{n-1}{2}$) в $n$-группу $\langle C,f_2\rangle$. Следствием этого изоморфизма является изоморфизм $n$-группы $\langle P_1,h_1\rangle$ и $n$-группы гомоморфизмов из бесконечной абелевой полуциклической $n$-группы типа $(\infty, 1, l)$ в полуабелеву $n$-группу $\langle C,f_2\rangle$. При изучении $n$-группы гомоморфизмов $\langle Hom(Z,C),g\rangle$ из бесконечной полуциклической $n$-группы $\langle Z,f'_1\rangle$ в полуабелеву $n$-группу $\langle C,f_2\rangle$ в абелевой группе $C$ выбираем подгруппу $H=\{ a\in C ~|~ \varphi_2(a)=-a \}$. На $H$ определим полуабелеву $n$-группу $\langle H,h\rangle$, где $h$ действует по правилу $h(a_1,a_2,\ldots,a_{n-1},a_n)=a_1+\varphi_2(a_2)+\ldots+\varphi^{n-2}_2(a_{n-1})+a_n$. Затем в $n$-группе $\langle C,f_2\rangle$ выбираем подгруппу $\langle T,f_2\rangle$ всех идемпотентов, если $T\ne \emptyset$. Доказано, что для нечетного числа $n>1$ декартово произведение полуабелевых $n$-групп $\langle H,h\rangle\times\langle T,f_2\rangle$ изоморфно $n$-группе гомоморфизмов из бесконечной полуциклической $n$-группы $\langle Z,f'_1\rangle$ в полуабелеву $n$-группу $\langle C,f_2\rangle$ с не пустым множеством идемпотентов $T$. Следствием этого изоморфизма является изоморфизм $n$-группы $\langle H,h\rangle\times\langle T,f_2\rangle$ и $n$-группы гомоморфизмов из бесконечной полуциклической $n$-группы типа $(\infty,-1,0)$ в полуабелеву $n$-группу $\langle C,f_2\rangle$.
Аналогичные факты получены при изучении $n$-группы гомоморфизмов $\langle Hom(Z,C),g\rangle$ из $n$-групп $\langle Z,f_1\rangle$ и $\langle Z,f'_1\rangle$ в абелеву $n$-группу $\langle C,f_2\rangle$.