Initial boundary value problem with nonlocal boundary condition for a nonlinear parabolic equation with memory

Рассмотрено нелинейное параболическое уравнение с памятью $u_{t}=\Delta u+au^{p}\int\limits_0^t u^{q}(x,\tau)\mathrm{d}\tau-bu^{m}$ для $(x,t)\in \Omega\times (0,+\infty)$ с нелинейным нелокальным граничным условием $\left.\frac{\partial u(x,t)}{\partial v}\right|_{\partial\Omega\times (0,+\infty)}= \int\limits_\Omega k(x,y,t)u^{l}(y,t)\mathrm{d}y$ и начальными данными $u(x,0)=u_{0}(x), x\in\Omega$, где $a,b,q,m,l$ - положительные постоянные; $p\geq 0$; $\Omega$ - ограниченная область в пространстве $\mathbb{R}^{n}$ с гладкой границей $\partial\Omega$; $v$ - единичная внешняя нормаль к $\partial\Omega$. Неотрицательная непрерывная функция $k(x,y,t)$ определена при $x\in \partial\Omega, y\in\bar{\Omega}, t\geq 0$, неотрицательная функция $u_{0}(x)\in C^{1}(\bar\Omega)$, при этом она удовлетворяет условию $\frac{\partial u_{0}(x)}{\partial v}=\int\limits_\Omega k(x,y,0)u_{0}^{l}(y)\mathrm{d} y $ при $x\in\partial\Omega$. Рассмотрены классические решения. Установлено существование локального максимального решения исходной задачи. Введены понятия верхнего и нижнего решений. Показано, что при выполнении определенных условий верхнее решение не меньше нижнего решения. Найдены условия положительности решений. Как следствие положительности решений и принципа сравнения решений доказана теорема единственности решения.