Об уравнениях, содержащих производную дельта-функции

Выражение $u''+a\delta'u$, содержащее в качестве коэффициента производную дельта-функции, является формальным и не задает оператор в пространстве $L_{2}(R)$, так как произведение $\delta'u$ не определено. В связи с этим рассматривается семейство операторов, аппроксимирующее это формальное выражение вида $(L(\varepsilon, a, \phi)u)(x)=u''(x)+a(\varepsilon)\cdot (\int\psi_{\varepsilon}(y)u(y)\mathbb{d}y\cdot \phi_{\varepsilon}(y)u(y)\mathbb{d}y\cdot \psi_{\varepsilon}(x)),$ где $\phi\in D(R); \phi(x)\in R; \int \phi(x)\mathbb{d}x=1; \phi_{\varepsilon}(x)=\frac{1}{\varepsilon}\phi(\frac{x}{\varepsilon});$ коэффициент $a(\varepsilon)$ принимает вещественные ненулевые значения. Цель настоящей работы – нахождение предела этого семейства операторов в смысле резольвентной сходимости. Получены, в зависимости от поведения коэффициента $a(\varepsilon)$ и свойств функции $\phi$ , пять различных видов пределов резольвент этого семейства операторов, поэтому формальному выражению $u''+a\delta'u$ нельзя единственным образом поставить в соответствие оператор в $L_{2}(R)$. Это является принципиальным отличием от случая выражения $u''+a\delta u$, для которого предел резольвент не зависит от выбора аппроксимирующего семейства.