Об исследовании и применении лапласовских спектров орграфов кольцевой структуры

Лапласовская матрица – это квадратная матрица $L=(\ell_{ij})\in\mathbb{R}^{n\times n}$, в которой все недиагональные элементы неположительны и все строчные суммы равны нулю. Каждой лапласовской матрице соответствует взвешенный орграф с положительными весами дуг. Исследуется проблема действительности спектра лапласовской матрицы для орграфов специального вида, состоящих из двух “встречных” гамильтоновых циклов, в одном из которых удалена одна или две дуги. Характеристические многочлены лапласовских матриц таких орграфов выражаются через многочлены $Z_n(x)$, которые могут быть получены из многочленов Чебышёва второго рода $P_{2n}(y)$ подстановкой $y^2=x$. Получены результаты, связанные со свойствами произведения многочленов Чебышёва второго рода. Приведен прямой метод вычисления спектра лапласовской матрицы цепи. Полученные результаты могут быть использованы для подсчета количества остовных деревьев в орграфах рассматриваемого вида. Одно из возможных практических приложений этих результатов – исследование топологии и разработка новых протоколов Интернета.