О методах вычисления грамианов и их использовании в анализе линейных динамических систем

Рассматриваются методы решения дифференциальных и алгебраических уравнений Ляпунова и Сильвестра во временно́й и частотной областях. Решения этих уравнений представляют собой конечные и бесконечные грамианы различных видов. Особенность предлагаемого подхода к вычислению грамианов состоит в применении разложения грамианов в виде сумм матричных билинейных или квадратичных форм, формируемых с помощью матриц Фаддеева, причем каждая форма представляет собой решение линейного матричного алгебраического уравнения, соответствующего отдельно взятому собственному числу матрицы. Доказана лемма, дающая явное представление конечного и бесконечного грамианов в виде матричных экспонент, зависящих от комбинационного спектра исходных матриц. Этот результат обобщается на случаи, когда спектр одной из матриц содержит собственное число кратности два. Рассмотрены примеры, иллюстрирующие вычисление конечных и бесконечных грамианов.