О сходимости ядерных оценок плотности с переменной шириной окна по зависимым наблюдениям

В [1, 2] был исследован новый вид непараметрических ядерных оценок плотности вероятности, ширина окна которых меняется в зависимости от выборки (data-based). Такие оценки были названы адаптивными. Новые оценки плотности имеют преимущество в скорости сходимости перед классическими оценками Розенблатта–Парзена. Однако все эти хорошие свойства оценок были получены в предположении независимости наблюдений. В настоящей работе изучаются свойства этих же адаптивных оценок, но только в предположении, что выборка представляет собой реализацию стационарной в узком смысле случайной последовательности. Приведены примеры моделирования адаптивной оценки, построенной по зависимым наблюдениям, порождаемым авторегрессионными моделями. Результаты моделирования подтверждают преимущество в смысле среднеквадратической ошибки адаптивной оценки перед классической оценкой Розенблатта–Парзена. Найдена скорость среднеквадратической сходимости предельной (так называемой “идеальной”) оценки к истинной неизвестной плотности по зависимой выборке. Доказана состоятельность адаптивной оценки, построенной по стационарным зависимым наблюдениям.