О позитивных и однозначных вычислимых нумерациях в гиперарифметике

Указывается критерий существования позитивных вычислимых всюду определенных $\Pi^1_1$-нумераций семейств надмножеств заданного $\Pi^1_1$-множества. В частности, устанавливается, что семейство всех $\Pi^1_1$-множеств не имеет позитивных вычислимых всюду определенных $\Pi^1_1$-нумераций. Также даётся критерий существования однозначных вычислимых $\Sigma^1_1$-нумераций семейств подмножеств заданного $\Sigma^1_1$-множества, следствием которого является отсутствие однозначной вычислимой $\Sigma^1_1$-нумерации семейства всех $\Sigma^1_1$-множеств. Рассматриваются вопросы существования негативных вычислимых $\Pi^1_1$- и $\Sigma^1_1$-нумераций указанных семейств.