Ассоциаторы и коммутаторы в альтернативных алгебрах

Доказывается, что в унитальной альтернативной алгебре $A$ характеристики, отличной от $2$, для любых элементов $a,b,c,d\in A$ ассоциатор $(a,b,c)$ и функция Клейнфельда $f(a,b,c,d)$ никогда не принимают значение $1$. Более того, если $A$ неассоциативна, то и любой коммутатор $[a,b]$ отличен от $1$. Как следствие, не существует алгебраически замкнутых альтернативных алгебр. Ограничения на характеристику существенны, что показывает пример алгебры Кэли–Диксона над полем характеристики $2$.