О конечных обобщённо разрешимых группах

Пусть $\sigma=\{\sigma_{i}\mid i\in I\}$ — некоторое разбиение множества всех простых чисел $\mathbb{P}$, $G$ — конечная группа, $\sigma(G)=\{\sigma_{i}\mid\sigma_{i}\cap\pi(G)\ne\varnothing\}$. Множество $\mathcal{H}$ подгрупп группы $G$ называется полным холловым $\sigma$-множеством группы $G$, если каждый нетривиальный член множества $\mathcal{H}$ является $\sigma_{i}$-подгруппой в $G$ для некоторого $i\in I$ и $\mathcal{H}$ содержит точно одну холлову $\sigma_{i}$-подгруппу из $G$ для каждого $i$, такого что $\sigma_{i}\in\sigma(G)$. Группа $G$ является $\sigma$-полной, если $G$ обладает полным холловым $\sigma$-множеством. Полное холлово $\sigma $-множество $\mathcal{H}$ группы $G$ называется $\sigma$-базисом группы $G$, если каждые две подгруппы $A,B\in\mathcal{H}$ перестановочны, т. е. $AB=BA$.
Изучаются свойства конечных групп, имеющих $\sigma$-базис. Доказывается, что если $G$ имеет $\sigma$-базис, то $G$ является обобщённо $\sigma$-разрешимой, т. е. $|\sigma (H/K)|\leq 2$ для каждого главного фактора $H/K$ группы $G$. Более того, каждое полное холлово $\sigma$-множество $\sigma$-полной группы $G$ образует $\sigma$-базис в $G$ тогда и только тогда, когда $G$ является обобщённо $\sigma$-разрешимой группой и для группы автоморфизмов $G/C_{G}(H/K)$, индуцированной $G$ на произвольном её главном факторе $H/K$, выполняется $|\sigma (G/C_{G}(H/K))|\leq 2$, а также $\sigma(H/K)\subseteq\sigma(G/C_{G}(H/K))$ в случае $|\sigma(G/C_{G}(H/K))|=2$.