Делимые жёсткие группы. Алгебраическая замкнутость и элементарная теория

Группа $G$ называется жёсткой, если в ней существует нормальный ряд
$$ G=G_1>G_2>\dots>G_m>G_{m+1}=1, $$
факторы которого $G_i/G_{i+1}$ абелевы и, рассматриваемые как правые $\mathbb Z[G/G_i]$-модули, не имеют модульного кручения. Жёсткая группа $G$ называется делимой, если элементы фактора $G_i/G_{i+1}$ делятся на ненулевые элементы кольца $\mathbb Z[G/G_i]$. Всякая жёсткая группа вкладывается в делимую. Доказывается, что имеют место следующие теоремы.
ТЕОРЕМА 1. Следующие три условия для данной группы эквивалентны: алгебраическая замкнутость в классе $\Sigma_m$ всех $m$-жёстких групп, экзистенциальная замкнутость в классе $\Sigma_m$, группа является делимой $m$-жёсткой.
ТЕОРЕМА 2. Элементарная теория класса делимых $m$-жёстких групп полна.