Об индексах максимальных подгрупп конечных разрешимых групп

Исследуется строение разрешимой группы $G$ в зависимости от значения функции $m(G)=\max\limits_{p\in\pi (G)}m_p(G)$, где $m_p(G)=\max\{\log_p|G:M|\mid M<_{\max}G,\ |G:M|=p^a\}$, $p\in \pi (G)$. Доказывается
\medskip Теорема 1. {\it Пусть $G$ – разрешимая группа. Тогда (1) $r(G/\Phi (G))=m(G)$; (2) $d(G/\Phi (G))\leqslant 1+\rho (m(G))\leqslant 3+m(G)$; (3) $l_p(G)\leqslant 1+t$, где $2^{t-1}<m_p(G)\leqslant 2^t$.}
\medskip Здесь $\Phi (G)$ – подгруппа Фраттини группы $G$, а $r(G)$, $d(G)$ и $l_p(G)$ – главный ранг, производная длина и $p$-длина группы $G$ соответственно. Через $\rho (n)$ обозначается максимум производных длин вполне приводимых разрешимых подгрупп полной линейной группы группы $GL(n,F)$ степени $n$, где $F$ – поле. Введенная функция $m(G)$ позволяет установить существование и сопряженность нового класса подгрупп в разрешимых группах. А именно, справедлива
\medskip Теорема 2. {\it Для любого натурального $k$ в каждой разрешимой группе $G$ существует подгруппа $K$, обладающая следующими свойствами: (1) $m(K)\leqslant k$; (2) если $T$ и $H$ – подгруппы группы $G$ такие, что $K\leqslant T<_{\max}H\leqslant G$, то $|H:T|=p^t$ для некоторого простого $p$ и $t>k$. Кроме того, любые две подгруппы группы $G$, обладающие свойствами (1) и (2), сопряжены между собой.}