О $\Sigma$-подмножествах натуральных чисел

Показывается, что класс всех возможных семейств $\Sigma$-подмножеств конечных ординалов в допустимых множествах совпадает с классом всех непустых семейств, замкнутых относительно $e$-сводимости и операции сочленения. Приведенная конструкция обладает свойством минимальности относительно эффективной определимости. Также дается описание наименьших по включению классов семейств подмножеств натуральных чисел, вычислимых в наследственно конечных надстройках. Строится новая серия примеров допустимых множеств, в которых отсутствует универсальная $\Sigma$-функция. Показывается также, что некоторые принципы классической теории вычислимости (такие как существование бесконечного нетривиального перечислимого подмножества, существование бесконечного вычислимого подмножества, принцип редукции, принцип униформизации) не всегда выполняются для классов всех $\Sigma$-подмножеств конечных ординалов допустимых множеств.