Индексные множества $n$-разрешимых структур, категоричных относительно $m$-разрешимых представлений

Структура называется категоричной относительно $n$-разрешимых представлений (или автоустойчивой относительно $n$-конструктивизаций), если любые две $n$-разрешимые копии структуры вычислимо изоморфны. В случае $n=0$ определение эквивалентно классическому определению вычислимо категоричной (автоустойчивой) структуры. Доуни, Кэч, Лемпп, Льюис, Монталбан и Туретски доказали, что не существует простой синтаксической характеризации вычислимой категоричности. Более строго, они доказали $\Pi^1_1$-полноту индексного множества вычислимо категоричных структур.
Исследуются индексные множества $n$-разрешимых структур, которые категоричны относительно $m$-разрешимых представлений, где $m,n\in\omega$. Если $m\ge n\ge0$, то индексное множество снова $\Pi^1_1$-полно, т.е. не существует хорошего описания класса $n$-разрешимых, категоричных относительно $m$-разрешимых представлений структур. В случае $m=n-1\ge0$ индексное множество $\Pi^0_4$-полно, а в случае $0\le m\le n-2$ индексное множество $\Sigma^0_3$-полно.