Проектирования колец Галуа

Пусть $R$ и $R^\varphi$ – ассоциативные кольца с изоморфными решётками подколец, а $\varphi$ – решёточный изоморфизм (иначе – проектирование) кольца $R$ на кольцо $R^\varphi$. Кольцо $R^\varphi$ называется проективным образом кольца $R$, а само $R$ – проективным прообразом кольца $R^\varphi$. Изучаются решёточные изоморфизмы колец Галуа. Под кольцом Галуа понимается кольцо $GR(p^n,m)$, изоморфное фактор-кольцу $K[x]/(f(x))$, где $K=Z/p^nZ$, $p$ – простое число, $f(x)$ – неприводимый над $K$ многочлен степени $m$, и $(f(x))$ – главный идеал, порождённый многочленом $f(x)$ в кольце $K[x]$. Свойства решётки подколец кольца Галуа зависят от значений чисел $n$ и $m$. Наиболее простое строение решётка подколец $L$ кольца $GR(p^n,m)$ имеет при $m=1$ ($L$ является цепью) и при $n=1$ ($L$ дистрибутивна). Как оказалось, только в этих случаях существуют примеры проектирований колец Галуа на кольца, не являющиеся кольцами Галуа. Доказана следующая
ТЕОРЕМА. Пусть $R=GR(p^n,q^m)$, где $n>1$, $m>1$. Тогда $R^\varphi\cong R$.