Классы скрученной сопряжённости в группах Шевалле

Пусть $G$ – группа, $\varphi\colon G\to G$ – её автоморфизм. Говорят, что элементы $x$ и $y$ из $G$ являются скрученно $\varphi$-сопряжёнными или просто $\varphi$-сопряжёнными (и обозначают $x\sim_\varphi y$), если существует элемент $z$ из $G$, для которого справедливо равенство $x=zy\varphi(z^{-1})$. Если при этом $\varphi$ – тождественный автоморфизм, то говорят о сопряжённости. Класс $\varphi$-сопряжённости элемента $x$ будем обозначать через $[x]_\varphi$. Число $R(\varphi)$ этих классов называется числом Райдемайстера автоморфизма $\varphi$. Говорят, что группа обладает свойством $R_\infty$, если число $R(\varphi)$ бесконечно для всякого автоморфизма $\varphi$.
Рассматриваются группы Шевалле над полями. В частности, доказывается: если алгебраически замкнутое поле $F$ нулевой характеристики имеет конечную степень трансцендентности над $\mathbb Q$, то группа Шевалле над полем $F$ обладает свойством $R_\infty$. Кроме того, группа Шевалле над полем $F$ нулевой характеристики обладает свойством $R_\infty$, если поле $F$ обладает периодической группой автоморфизмов. Условие о том, что поле $F$ имеет нулевую характеристику, нельзя отбросить. Это следует из результата Р. Стейнберга о том, что для связных линейных алгебраических групп над алгебраически замкнутым полем ненулевой характеристики всегда существует автоморфизм $\varphi$, для которого $R(\varphi)=1$.