Жёсткие метабелевы про-$p$-группы

Метабелеву про-$p$-группу $G$ называют жёсткой, если в ней существует нормальный ряд
$$ G=G_1\ge G_2\ge G_3=1, $$
такой что фактор-группа $A=G/G_2$ абелева без кручения, и $G_2$, как $\mathbb Z_pA$-модуль, не имеет модульного кручения. В случае неабелевой группы $G$ подгруппа $G_2$ и, следовательно, ряд (1) указанными свойствами определяются однозначно. Абелева про-$p$-группа будет жёсткой, если она не имеет кручения, в качестве $G_2$ можно взять либо единичную подгруппу, либо всю группу. Доказывается, что все жёсткие $2$-ступенно разрешимые про-$p$-группы универсально эквивалентны между собой.
Жёсткие метабелевы про-$p$-группы можно рассматривать как $2$-градуированные с возможными градуировками $(1,1)$, $(1,0)$ и $(0,1)$. Если группа $2$-ступенно разрешима, то у неё градуировка $(1,1)$. Для абелевой группы возможны два случая, а именно градуировка (1,0), если $G_2=1$, и градуировка $(0,1)$, если $G_2=G$. Морфизмом $2$-градуированных жёстких про-$p$-групп называется такой гомоморфизм $\varphi\colon G\to H$, что $G_i\varphi\le H_i$. Доказывается, что в категории $2$-градуированных жёстких про-$p$-групп существует операция копроизведения, устанавливаются её свойства.