Экзистенциально замкнутые подгруппы свободных нильпотентных групп

Пусть $\mathcal N_c$ – многообразие всех нильпотентных групп ступени не выше, чем $c$, $N_{r,c}$ – свободная нильпотентная группа конечного ранга $r$ ступени нильпотентности $c$. Доказывается: подгруппа $N$ группы $N_{r,c}$ при $c\ge3$ экзистенциально замкнута в $N_{r,c}$ тогда и только тогда, когда $N$ является свободным множителем группы $N_{r,c}$ относительно многообразия $\mathcal N_c$. Следовательно, $N\simeq N_{m,c}$, $1\le m\le r$ и $m\ge c-1$.