Вербально и экзистенциально замкнутые подгруппы свободных нильпотентных групп

Пусть $\mathcal N_c$ – многообразие всех нильпотентных групп ступени не выше, чем $c$, $N_{r,c}$ – свободная нильпотентная группа конечного ранга $r$ ступени нильпотентности $c$. Доказывается, что подгруппа $H$ группы $N_{r,c}$ ($r,c\ge1$) вербально замкнута тогда и только тогда, когда она является свободным множителем (равносильно, алгебраически замкнутой подгруппой, ретрактом) группы $N_{r,c}$.
Кроме того, при $c\ge4$ любой свободный относительно многообразия $\mathcal N_c$ множитель $N_{m,c}$ группы $N_{c-1,c}$ при $m<c-1$ не экзистенциально замкнут в группе $N_{m+i,c}$ при $i=1,2,\dots$. Устанавливается, что при $r\ge3$ и $2\le c\le3$ любой свободный в многообразии $\mathcal N_c$ множитель $N_{m,c}$, $2\le m\le r$, экзистенциально замкнут в группе $N_{r,c}$.