О схлопывании вероятностных иерархий. I

Изучаются иерархии проблем общезначимости для префиксных фрагментов вероятностной логики с кванторами по пропозициональным формулам, обозначаемой $\mathcal{QPL}$, и её вариантов. Доказывается: если подполе $\mathfrak F$ вещественных чисел определимо в стандартной модели арифметики посредством формулы второго порядка, не содержащей кванторов по множествам, то проблема общезначимости над $\mathfrak F$-значными вероятностными структурами для $\Sigma_4$-$\mathcal{QPL}$-предложений является $\Pi^1_1$-полной и, как следствие, соответствующая иерархия проблем общезначимости схлопывается. Более того, при доказательстве этого факта устанавливается $\Pi^1_1$-полнота $\forall\exists$-теории арифиметики Пресбургера с единственным свободным одноместным предикатом, что обобщает известный результат Хальперна, относящийся ко всей упомянутой теории.