Автоморфизмы конечных $p$-групп, допускающих расщепление

Для конечной $p$-группы $P$ эквивалентны следующие три условия: (а) обладать (собственным) расщеплением, т.е. быть объединением некоторых собственных подгрупп с тривиальными попарными пересечениями; (б) иметь собственную подгруппу, вне которой все элементы имеют порядок $p$; (в) быть полупрямым произведением $P=P_\rtimes\langle\varphi\rangle$, где $P_1$ – подгруппа индекса $p$, а $\varphi$ – её расщепляющий автоморфизм порядка $p$. Доказывается: если конечная $p$-группа $P$ с расщеплением допускает разрешимую группу автоморфизмов $A$ взаимно простого порядка, для которой подгруппа неподвижных точек $C_P(A)$ разрешима ступени $d$, то $P$ обладает максимальной подгруппой, которая нильпотентна ступени, ограниченной в терминах $p,d$ и $|A|$. Доказательство основано на аналогичном результате автора и П. В. Шумяцкого для случая, когда $P$ имеет период $p$ и на методе “исключения автоморфизмов нильпотентностью”, который был ранее разработан автором, в частности, для изучения конечных $p$-групп с расщеплением. Также доказывается: если конечная $p$-группа $P$ с расщеплением допускает группу автоморфизмов $A$, точно действующую на $P/H_p(P)$, то период группы $P$ ограничен в терминах периода $C_P(A)$. Доказательство основано на положительном решении автором аналога ослабленной проблемы Бернсайда для конечных $p$-групп с расщепляющим автоморфизмом порядка $p$. Эти результаты дают следствия о конечных группах, допускающих фробениусову группу автоморфизмов, ядро которой порождается расщепляющим автоморфизмом простого порядка.