О подпространстве $L((x_1\wedge\dots\wedge x_k)^m)$ в $S^m(\wedge^k\mathbb R^n)$

Пусть $\wedge^k\mathbb R^n$ – $k$-я внешняя степень пространства $\mathbb R^n$, $V(m,n,k)=S^m(\wedge^k\mathbb R^n)$ – его $m$-я симметрическая степень, $V_0=L((x_1\wedge\dots\wedge x_k)^m):x_i\in\mathbb R^n$). Строится базис и вычисляется размерность $V_0$ при $m=2$, а для произвольной степени $m$ приводится эффективный алгоритм поиска базиса и размерности пространства $V_0(m,n,k)$. Устанавливается верхняя оценка размерности $V_0$, из которой следует, что
$$ \lim_{m\to1}\frac{\dim V_0(m,n,k)}{\dim V(m,n,k)}=0. $$
Полученные результаты применяются к изучению многообразия Грассмана и конечномерных алгебр Ли.