О $F_k$-подобных группах

В настоящей заметке доказываются следующие результаты.
Теорема 1. Существуют как конечно определённые, так и не конечно определённые 2-порождённые несвободные группы, которые $F_k$-подобны для любого $k\ge2$.
Теорема 2. Каждая не почти циклическая (соответственно, нециклическая и без кручения) гиперболическая $m$-порождённая группа $F_k$-подобна для всякого $k\ge m+1$ (соответственно, $k\ge m$).
Теорема 3. Существует 2-порождённая периодическая группа $G$, которая $F_k$-подобна для всякого $k\ge3$.