О некоторых 2-когомологиях групп $SL(n,q)$

Пусть $G=SL(n,q)$, $q$ нечётно, $V$ – естественный модуль над $G$, и $L=S^2(V)$ – его симметрический квадрат. Строится группа 2-когомологий $H^2(G,L)$. Эта группа одномерна над $\mathbf F_q$ в случае $n=2$, $q\neq3$, а также в случае $(n,q)=(4,3)$. В остальных случаях $H^2(G,L)=0$. Если $n=2$ или $q=p$ – простое, группы $H^2(G,L)$ были известны ранее. Основным результатом является утверждение о тривиальности групп $H^2(G,L)$ при $n\ge3$ и $q=p^m$, $m\ge2$. В доказательстве используются сравнительно элементарные (не когомологические) методы.