Теоремы о сохранении стабильности

Доказывается следующая основная
Теорема. Пусть $\mathbb F=\langle F,R\rangle$ – нормированное поле такое, что $\mathbb F_R$ имеет характеристику $p>0$, $\mathbb F_0\ge\mathbb F$ – расширение нормированных полей такое, что выполняются следующие условия:
i) существует множество $B_0\subset R_0\setminus\mathfrak m(R_0)$ такое, что $\overline B_0\rightleftharpoons\{\overline b\rightleftharpoons b+\mathfrak m(R_0)\mid b\in B_0\}$ – сепарирующий базис трансцендентности поля $F_{R_0}$ над $F_R$;
ii) $\Gamma_R$ в $\Gamma_{R_0}$ $p$-сервантна, т.е. $\Gamma_{R_0}/\Gamma_R$ не содержит элементов порядка $p$;
iii) существует множество $B_1\subset F^\times_0$ такое, что семейство $\widetilde B_1\rightleftharpoons\{\widetilde b\rightleftharpoons v_{R_0}(b)+(p\Gamma_{R_0})\Gamma_R\mid b\in B_1\}$ линейно независимо в элементарной $p$-группе $\Gamma_{R_0}/(p\Gamma_{R_0})\Gamma_R$;
iv) $F_0$ алгебраично над $F(B_0\cup B_1)$.
Тогда из стабильности $\mathbb F$ вытекает, что и $\mathbb F_0$ стабильно.