О группах с $l$-расщепляющими автоморфизмами порядка три и четыре

Подмножество $X$ группы $G$ называется большим (слева), если для любого конечного множества элементов $g_1,\ldots ,g_k\in G$ пересечение подмножеств $g_iX=\{g_ix\mid x\in X\}$ непусто, т.е. $\bigcap\limits_{i=1}^{k}g_iX\ne\varnothing$. Доказывается, что группа, в которой элементы порядка 3 образуют большое подмножество, на самом деле имеет период 3. Этот результат, отвечающий на вопрос Х. Джабера и Ф. Вагнера, вытекает из более общей теоремы о группах с $l$-расщепляющим автоморфизмом порядка 3. Для групп с $l$-расщепляющим автоморфизмом $\varphi$ порядка 4 доказывается, что если $H$ ? нормальная $\varphi$-инвариантная разрешимая подгруппа ступени разрешимости $d$, то коммутант $[H,H]$ нильпотентен ступени, ограниченной в терминах $d$. Частный случай $\varphi=1$ дает в качестве следствия такой же результат для групп, в которых элементы порядка 4 составляют большое множество.